Pony of Shadows

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时间演化算符的形式解

定义演化算符U(t)满足: |ψ(t)=U(t,t0)|ψ(t0) 容易得到下面的结论:

  • U(t)是幺正算符。
  • H不显含时间时,U(t,t0)=ei(tt0)

下面我们看H(t)显含时间的情况。

U(t)的定义式代入薛定谔方程,可得: itU(t,t0)=HU(t,t0) 上式两边对t积分,得:

U(t,t0)|t0t=itotH(t1)U(t1,t0)dt1 U(t,t0)=I^itotH(t1)U(t1,t0)dt1

t可以取一系列值tt1t2tnt0, 于是可以按上式从U(t,t0)U(t1,t0)开始不停地迭代到U(t,t0)U(t0,t0)=I^,得到形式上的解。

下面我们不用纸笔,思考一下这个公式的迭代过程:

  • 积分中的U会在每次迭代被单位I+含U的积分式替换
  • 每次迭代,替换出的I会让全式多出一个含H不含U的项
  • 每次迭代,含U的积分式会被多套一个积分号。
  • 随着n趋向无穷大,U(tn,t0)U(t0,t0)=I^

那么,我们就能写出迭代的最终结果:

U(t,t0)=I^+n=1(i)nt0tdt1t0t1dt2t0tn1dtnH(t1)H(t2)H(tn)

为了把上面的式子写得更整齐,首先想把积分上限都变成t,引入阶跃函数

θ(tt)={1,tt0,t<t

从而有

t0tf(t)dt=t0tθ(tt)f(t)dt U(t,t0)=I^+n=1(i)nt0tdt1t0tdt2t0tdtnθ(t1t2)θ(t2t3)θ(tn1tn)H(t1)H(t2)H(tn)
这时候tt12tnt0 的强制规定消失了,t1t2tn现在被积分上下限和所有阶跃函数限制。现在交换其中任何两个ti,tj (i,j=1,2,n)都不会改变积分值。

定义重排算符T^:

T^[H(t1)H(t2)H(tn)]=t1t2tnθ(t1t2)θ(t2t3)θ(tn1tn)H(t1)H(t2)H(tn)
上面这个求和对t1t2tn的所有排列(共n!个)进行。对一组特定的t1t2tn的特定取值,只有一个求和项不为0。

再看一下上面包含阶跃函数的积分式,由于积分变量交换不改变积分结果,它可以用T^改写成:

U(t,t0)=I^+n=11n!(i)nt0tdt1t0tdt2t0tdtnT^[H(t1)H(t2)H(tn)]
至此,我们完成了一堆不同上限积分的相乘到一堆同上限积分相乘的变形。通过交换T^与积分符号,可以进一步简化:
U(t,t0)=I^+T^n=11n!(i)nt0tdt1t0tdt2t0tdtnH(t1)H(t2)H(tn)=I^+T^n=11n!(i)nt0tdt1H(t1)t0tdt2H(t2)t0tdtnH(tn)=I^+T^n=11n!(i)n[t0tH(τ)dτ]n=T^exp[it0tH(τ)dτ]

参考