时间演化算符的形式解
定义演化算符$U(t)$满足： $$ |\psi(t)\rangle=U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle $$ 容易得到下面的结论：
- $U(t)$是幺正算符。
- 当$H$不显含时间时，$U(t,t_0)=\mathrm{e}^{-\frac i\hbar (t-t_0)}$
下面我们看$H(t)$显含时间的情况。
将$U(t)$的定义式代入薛定谔方程，可得： $$ i\hbar\frac\partial{\partial t}U(t,t_0) = HU(t,t_0) $$ 上式两边对$t$积分，得：
$$
U(t,t_0)\big|_{t_0}^t
=
-\frac i\hbar \int_{t_o}^{t}H(t_1)U(t_1,t_0)\mathrm{d}t_1
$$ $$
U(t,t_0)
= \hat{I}
-\frac i\hbar \int_{t_o}^{t}H(t_1)U(t_1,t_0)\mathrm{d}t_1
$$
$t$可以取一系列值$t\ge t_1\ge t_2 \ge \cdots \ge t_n\ge t_0$, 于是可以按上式从$U(t,t_0)\Leftarrow U(t_1,t_0)$开始不停地迭代到$U(t,t_0)\Leftarrow U(t_0,t_0)=\hat{I}$，得到形式上的解。
下面我们不用纸笔，思考一下这个公式的迭代过程：
- 积分中的U会在每次迭代被单位I+含U的积分式替换
- 每次迭代，替换出的I会让全式多出一个含H不含U的项
- 每次迭代，含U的积分式会被多套一个积分号。
- 随着n趋向无穷大，$U(t_n,t_0)\rightarrow U(t_0,t_0)=\hat{I}$
那么，我们就能写出迭代的最终结果：
$$
U(t,t_0)=\hat{I}+
\sum_{n=1}^{\infty}
\left(-\frac i\hbar\right)^n
\int_{t_0}^{t}\mathrm{d}t_1
\int_{t_0}^{t_1}\mathrm{d}t_2
\cdots
\int_{t_0}^{t_{n-1}}\mathrm{d}t_n
H(t_1)H(t_2)\cdots H(t_n)
$$
为了把上面的式子写得更整齐，首先想把积分上限都变成t，引入阶跃函数
$$
\theta(t-t')=
\begin{cases}
1, \quad t \ge t' \\
0, \quad t < t'
\end{cases}
$$
从而有
$$
\int_{t_0}^{t''}f(t')\mathrm{d}t'
=
\int_{t_0}^{t}\theta(t''-t')f(t')\mathrm{d}t'
$$
$$
U(t,t_0)=\hat{I}+
\sum_{n=1}^{\infty}
\left(-\frac i\hbar\right)^n
\int_{t_0}^{t}\mathrm{d}t_1
\int_{t_0}^{t}\mathrm{d}t_2
\cdots
\int_{t_0}^{t}\mathrm{d}t_n
\theta(t_1-t_2)\theta(t_2-t_3)\cdots\theta(t_{n-1}-t_n)
H(t_1)H(t_2)\cdots H(t_n)
$$
这时候$t\ge t_1 \ge_2 \cdots \ge t_n \ge t_0 $ 的强制规定消失了，$t_1t_2\cdots t_n$现在被积分上下限和所有阶跃函数限制。现在交换其中任何两个$t_i, t_j \ (i,j=1,2,\cdots n)$都不会改变积分值。
定义重排算符$\hat{T}$:
$$
\hat{T}[H(t_1)H(t_2)\cdots H(t_n)]=
\sum_{t_1t_2\cdots t_n}
\theta(t_1-t_2)\theta(t_2-t_3)\cdots\theta(t_{n-1}-t_n)
H(t_1)H(t_2)\cdots H(t_n)
$$
上面这个求和对$t_1t_2\cdots t_n$的所有排列（共$n!$个）进行。对一组特定的$t_1t_2\cdots t_n$的特定取值，只有一个求和项不为0。
再看一下上面包含阶跃函数的积分式，由于积分变量交换不改变积分结果，它可以用$\hat{T}$改写成：
$$
U(t,t_0)=\hat{I}+
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}
\left(-\frac i\hbar\right)^n
\int_{t_0}^{t}\mathrm{d}t_1
\int_{t_0}^{t}\mathrm{d}t_2
\cdots
\int_{t_0}^{t}\mathrm{d}t_n
\hat{T}[H(t_1)H(t_2)\cdots H(t_n)]
$$
至此，我们完成了一堆不同上限积分的相乘到一堆同上限积分相乘的变形。通过交换$\hat{T}$与积分符号，可以进一步简化：
\begin{align}
U(t,t_0)
&=
\hat{I}+\hat{T}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}
\left(-\frac i\hbar\right)^n
\int_{t_0}^{t}\mathrm{d}t_1
\int_{t_0}^{t}\mathrm{d}t_2
\cdots
\int_{t_0}^{t}\mathrm{d}t_n
H(t_1)H(t_2)\cdots H(t_n)
\\
&=
\hat{I}+\hat{T}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}
\left(-\frac i\hbar\right)^n
\int_{t_0}^{t}\mathrm{d}t_1H(t_1)
\int_{t_0}^{t}\mathrm{d}t_2H(t_2)
\cdots
\int_{t_0}^{t}\mathrm{d}t_nH(t_n)
\\
&=
\hat{I}+\hat{T}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}
\left(-\frac i\hbar\right)^n
\left[
\int_{t_0}^{t}H(\tau)\mathrm{d}\tau
\right]^n
\\
&=
\hat{T}
\exp\left[
-\frac i\hbar
\int_{t_0}^{t}H(\tau)\mathrm{d}\tau
\right]
\end{align}
参考
- 《高等量子力学》喀兴林
- 戴森级数-小时百科
- Dyson Series - wikipedia